zeyton

پيش زمينه های رياضی در رمزنگاری AES:

گروه:
گروه تشکيل شده ازيک مجموعه مثل G که به همراه عملگرفرضی ⨁ بصورت (G, ⨁) نشان داده می شود و دارای خواص زير است:
1) اين عملگر روی مجموعه G بسته است.
2) اين عملگر دارای خصوصيت شرکت پذيری است.
3) اين عملگر بايد دارای عضو همانی باشد.
4) به ازای هر عنصر مثل a از G ، يک عنصر معکوسa متعلق به G وجود داشته باشد.

گروه آبلی (Abelian Group) يا گروه جابجايي: علاوه بر شرايط گروه شرايط زير را دارا باشد: a,b ∈G ⇒a⨁b=b⨁a∀

گروه محدود (Finite Group): تعداد عناصر G محدود و قابل شمارش باشد. برای گروه های محدود، نماد Ord(G) تعداد عناصر گروه را مشخص می کند.

گروه چرخه ای: هرگاه يک مؤلفه مثل a درG پيدا شود به نحوی که توانهای متوالی آن به شکل a^i ، تمام عناصر G را توليد کند.

قضيه لاگرانژ: Ord(H) | Ord(G)
يعنی تعداد عناصر H ، تعداد عناصر G را می شمارد.

حلقه:
يک حلقه تشکيل شده از يک مجموعه به نام R که دو عملگر فرضی ⨂و⨁ بر روی آن تعريف و با نماد (R,⨁,⨂) معرفی می شود.با شرايط زير:
1) (R,⨁) بايد يک گروه آبلی باشد.
2) Rبر روی عملگر دوم بايد دارای خواص شرکت پذيری باشد.
3) عملگر دوم بر روی عملگر اول بايد دارای خصوصيت پخشی از چپ به راست باشد.
4) عملگر دوم نيز بايد به ازای تمام عناصر R ، دارای عضو همانی در همين مجموعه باشد.

ميدان:
هرگاه مجموعه F به همراه دو عملگر فرضی يک حلقه جابجايی باشد و در عين حال هر عضو F بر روی عملگر دوم نيز معکوس داشته باشد.

میدان محدود: تعداد عناصر میدان F محدود و قابل شمارش باشد Ord(F) تعداد عناصر میدان است.
اگر P عددی اول باشد Zp اعداد غیر صفر کمتر از p باشد عملگر ضرب پیمانه ای و مجموعه Zp یک گروه آبلی می باشد.

چند جمله های روی Zp: مجموعه Zp (باقيمانده اعداد به پيمانه P) با دو عملگر جمع و ضرب پيمانه ای يک ميدان محدود را تشکيل خواهد داد. جمع دو چندجمله ای عبارت خواهد بود از جمع ضرايب جملات هم توان به پيمانه p و ضرب چندجمله ها نيز به پيمانه p انجام می گيرد يعنی پس از محاسبه ضرايب ، نتيجه به پيمانه P کاهش مي يابد.

ميدان گالوا GF(p) : مجموعه Zp به همراه دو عملگر جمع و ضرب پيمانه ای (p) يک ميدان محدود را تشکيل می دهند، که به آن ميدان گالوای GF(p) می گويند.

__________________